Soal UN 2015 IPA
Diketahui hasil dari \( \int_0^1 ax(x^2+1)^2 \ dx \) adalah 14. Nilai dari \(a\) adalah…
- 6
- 8
- 10
- 12
- 14
Pembahasan:
Kita bisa selesaikan soal integral ini menggunakan metode substitusi aljabar yakni dengan memisalkan \( u = x^2+1 \) sehingga diperoleh:
\begin{aligned} u=x^2+1 \Leftrightarrow \frac{du}{dx} &=2x \\[8pt] dx &= \frac{1}{2x} \ du \end{aligned}
Selanjutnya, hitung batas integral yang baru, yakni:
\begin{aligned} x = 0 &\Leftrightarrow u = x^2+1 \\[8pt] &\Leftrightarrow u = 0^2 + 1 = 1 \\[8pt] x = 1 &\Leftrightarrow u = 1^2 + 1 = 2 \end{aligned}
Substitusi hasil yang diperoleh di atas ke soal integral, diperoleh:
\begin{aligned} \int_0^1 ax(x^2+1)^2 \ dx &= \int_1^2 ax \ u^2 \cdot \frac{1}{2x} \ dx \\[8pt] 14 &= \frac{a}{2} \int_1^2 u^2 \ du \\[8pt] 14 &= \frac{a}{2} \left[ \frac{1}{3}u^3 \right]_1^2 \\[8pt] 14 &= \frac{a}{2} \left[ \frac{1}{3}(2)^3-\frac{1}{3}(1)^3 \right] \\[8pt] 14 &= \frac{a}{2} \cdot \frac{7}{3} \Leftrightarrow 14 = \frac{7a}{6} \\[8pt] a &= \frac{14 \times 6}{7} = 12 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \(a\) adalah 12.
Jawaban D.